【題目】已知橢圓與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M，且橢圓E上相異兩點(diǎn)A、B滿足直線MA,MB的斜率之積為．

（Ⅰ）證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求三角形ABM的面積的最大值．

【答案】（1）直線恒過(guò)定點(diǎn)．（2）

【解析】試題分析：利用設(shè)而不求思想設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，首先考慮 直線斜率不存在的情況，然后研究直線斜率存在的一般情況，設(shè)出直線斜截式方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，代入整理后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)MA、MB的斜率之積為，代入，解出，得出直線過(guò)定點(diǎn)，第二步聯(lián)立方程組后利用判別式大于零，求出k的范圍，表示三角形的面積，利用基本不等式求出最值 .

試題解析：

解：（Ⅰ）由橢圓的方程得，上頂點(diǎn),記 由題意知， ，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，故，且，因此，與已知不符，因此直線的斜率存在，設(shè)直線： ，代入橢圓的方程得： ………①

因?yàn)橹本�與曲線有公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)非零不等實(shí)根，

所以，

又， ，

由 ，得

即

所以

化簡(jiǎn)得： ，故或，

結(jié)合知，

即直線恒過(guò)定點(diǎn)．

（Ⅱ）由且得： 或，

又

，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)， 的面積最大，最大值為 ．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一條光線從點(diǎn)（﹣2，﹣3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為（　�。�
A.﹣或﹣
B.﹣或﹣
C.﹣或﹣
D.﹣或﹣

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某手機(jī)賣場(chǎng)對(duì)市民進(jìn)行國(guó)產(chǎn)手機(jī)認(rèn)可度的調(diào)查，隨機(jī)抽取100名市民，按年齡（單位：歲）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如圖：

（Ⅰ）求頻率分布表中，的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；

（Ⅱ）在抽取的這100名市民中，按年齡進(jìn)行分層抽樣，抽取20人參加國(guó)產(chǎn)手機(jī)用戶體驗(yàn)問(wèn)卷調(diào)查，現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送精美禮品一份，設(shè)這2名市民中年齡在內(nèi)的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且兩坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位.已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為， 是曲線： 上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），且直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）．

（1）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求；

（2）若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，得到曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線的極坐標(biāo)方程為），圓的參數(shù)方程為： （其中為參數(shù)）.

（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；

（2）若橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過(guò)圓的圓心且與直線垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其期中考試的政治成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段： ， ， ，…后得到如下頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生期中考試政治成績(jī)的中位數(shù)（精確到0.1）、眾數(shù)、平均數(shù)；

(2)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為20的樣本，求各分?jǐn)?shù)段抽取的人數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在幾何體ABDCE中，AB=AD，AE⊥平面ABD，M為線段BD的中點(diǎn)，MC∥AE，AE=MC．
（1）求證：平面BCD⊥平面CDE；
（2）若N為線段DE的中點(diǎn)，求證：平面AMN∥平面BEC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示的是一個(gè)幾何體的直觀圖和三視圖(其中正視圖為直角梯形,俯視圖為正方形,側(cè)視圖為直角三角形).

（1）求四棱錐P-ABCD的體積;

（2）若G為BC上的動(dòng)點(diǎn),求證:AE⊥PG.

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