Question

在數(shù)列{a_n}．中，如果對(duì)任意的n∈N，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=e（e為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為比等差數(shù)列，e稱為比公差．現(xiàn)給出下列命題：
①等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列；
②如果{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，那么數(shù)列{a_nb_n}是比等差數(shù)列：
③斐波那契數(shù)列{F_n}不是比等差數(shù)列；
④若a_n=2^n-1•（n-1），則數(shù)列{a_n}為比等差數(shù)列，比公差e=2．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①根據(jù)等比數(shù)列的定義可知

an+2

an+1

=

an+1

an

，滿足比等差數(shù)列的定義，若等差數(shù)列為a_n=n，看其是否滿足；
②如果{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，設(shè)a_n=n，b_n=2ⁿ，看其是否滿足比等差數(shù)列的定義；
③斐波那契數(shù)列{F_n}，根據(jù)斐波那契數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，看其是否滿足比等差數(shù)列的定義；
④若a_n=2^n-1•（n-1），代入

an+2

an+1

-

an+1

an

進(jìn)行求解看是否是常數(shù)，綜合可得答案．

解答：解：①等比數(shù)列

an+2

an+1

-

an+1

an

=0，滿足比等差數(shù)列的定義，若等差數(shù)列為a_n=n，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

-1

n(n+1)

≠常數(shù)，故正確；
②如果{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，設(shè)a_n=n，b_n=2ⁿ，則

(n+2)2n+2

(n+1)2n+1

-

(n+1)2n+1

n2n

≠常數(shù)，不滿足比等差數(shù)列的定義，故不正確；
③斐波那契數(shù)列{F_n}，

an+2

an+1

-

an+1

an

=

an+1+an

an+1

-

an+an-1

an

≠常數(shù)，不滿足比等差數(shù)列的定義，故正確；
④若a_n=2^n-1•（n-1），

an+2

an+1

-

an+1

an

=

-1

n(n-1)

≠常數(shù)，不滿足比等差數(shù)列的定義，故不正確；
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，解題時(shí)應(yīng)正確理解新定義，同時(shí)注意利用列舉法判斷命題為假，屬于難題．