已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個頂點為A （2，0），離心率為，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M，N
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）當(dāng)△AMN的面積為時，求k的值．
【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x-1）的距離，利用△AMN的面積為，可求k的值．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為，
∴
∴b=
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=，
∴|MN|==
∵A（2，0）到直線y=k（x-1）的距離為
∴△AMN的面積S=
∵△AMN的面積為，
∴
∴k=±1．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是正確求出|MN|．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C:+y2=1,則與橢圓C關(guān)于直線y=x成軸對稱的曲線的方程是____________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年陜西省高考數(shù)學(xué)壓軸卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2線與圓x2+y2=b2相切于點A，并與橢圓C交與不同的兩點P，Q，如圖，PF1⊥PQ，若A為線段PQ的靠近P的三等分點，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣西桂林市、崇左市、防城港市高考第一次聯(lián)合模擬理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

 如圖，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F、F，A是橢圓C上的一點，AF⊥FF，O是坐標原點，OB垂直AF于B，且OF=3OB.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命題“設(shè)圓x+y=t上任意點M（x，y）處的切線交橢圓C于Q、Q兩點，那么OQ⊥OQ”成立.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年四川省攀枝花市高三12月月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，且在x軸上的頂點分別為

（1）求橢圓方程；

（2）若直線：與軸交于點T，P為上異于T的任一點，直線分別與橢圓交于M、N兩點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省高三上學(xué)期摸底考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分14分）已知橢圓C：=1(a＞b＞0)的離心率為，短軸一

 

個端點到右焦點的距離為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C上的動點P引圓O：的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點，試探究橢圓C上是否存在點P，由點P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

 

 

 

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