Question

設(shè)動點A、B（不重合）在橢圓9x²+16y²=144上，橢圓中心為O，且OA⊥OB，則點O到弦AB的距離OH=

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：分類討論：當AB⊥x軸或AB∥x軸時，把y=x與橢圓的方程聯(lián)立即可解出．當AB與x軸不垂直時，設(shè)AB的方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)及其

OA

⊥

OB

?

OA

•

OB

=0，點到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：當AB⊥x軸或AB∥x軸時，聯(lián)立

y=x 9x2+16y2=144

，解得x=y=±

12

5

，∴|OH|=

12

5

．
當AB與x軸不垂直時，設(shè)AB的方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+m 9x2+16y2=144

，化為（9+16k²）x²+32kmx+16m²-144=0，
△＞0．x₁+x₂=-

32km

9+16k2

，x1x2=

16m2-144

9+16k2

．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
∵

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

(1+k2)(16m2-144)

9+16k2

+

-32k2m2

9+16k2

+m²=0，
化為25m²=144k²+144．
∴點O到弦AB的距離OH=

|m|

1+k2

=

12

5

．
故答案為：

12

5

．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．