點A、B、C、D在同一球的球面上，AB=BC=
2
，AC=2，若四面體ABCD體積的最大值為
2
3
，則這個球的表面積為
 
．
考點：球內(nèi)接多面體,球的體積和表面積
專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離
分析：根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．
解答： 解：根據(jù)題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設(shè)小圓的圓心為Q，
若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為
1
3
S△ABC×DQ=
2
3
，
即
1
3
×1×DQ=
2
3
，∴DQ=2，如圖．
設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，
OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2-R）2，∴R=
5
4

則這個球的表面積為：S=4π（
5
4
）2=
25
4
π；
故答案為：
25
4
π．
點評：本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為
2
，且過點P（4，-
10
），則△PF1F2的面積是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知過拋物線y2=4x的焦點F的弦長為36，求弦所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，M為橢圓上的一點，△F1F2M的重心為G，內(nèi)心為I，且直線IG平行x軸，則橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若存在正整數(shù)T，對于任意正整數(shù)n都有an+T=an成立，則稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，周期為T．已知數(shù)列{an}滿足a1=m（m＞0），an+1=
an-1，an＞1
1
an
，0＜an≤1
，關(guān)于下列命題：
①當m=
3
4
時，a5=2
②若m=
2
，則數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列；
③對若a2=4，則m可以取3個不同的值；
④?m∈Q且m∈[4，5]，使得數(shù)列{an}是周期為6．
其中真命題的個數(shù)是（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等比數(shù)列的前三項的和為2，前六項的和為6，則其前九項的和為（　�。�
A、8B、10C、12D、14

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若點M（x，y）為平面區(qū)域
x-2y+1≥0
x+y+1≥0
x≤0
上的一個動點，則x+2y的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ax2+1
bx+c
（a，b，c∈N）是奇函數(shù)，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；   
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并用定義證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（-x），當x∈（0，
1
2
]時，f（x）=log
1
2
（1-x），則f（x）在區(qū)間（1，
3
2
）內(nèi)是（　�。�
A、減函數(shù)且f（x）＞0
B、減函數(shù)且f（x）＜0
C、增函數(shù)且f（x）＞0
D、增函數(shù)且f（x）＜0

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