Question

若存在正整數(shù)T，對于任意正整數(shù)n都有a_n+T=a_n成立，則稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，周期為T．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=m（m＞0），a_n+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

，關(guān)于下列命題：
①當(dāng)m=

3

4

時，a₅=2
②若m=

2

，則數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列；
③對若a₂=4，則m可以取3個不同的值；
④?m∈Q且m∈[4，5]，使得數(shù)列{a_n}是周期為6．
其中真命題的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：①，當(dāng)m=

3

4

時，分別求得a₂、a₃、a₄、a₅、即可判斷①；
②，若m=

2

，可求得a₂、a₃、a₄，從而可判斷②；
③，若a₂=4，依題意得

a1＞1 a2=a1-1

或

0＜a1≤1 a2= 1 a1

，可求得，a₁=5或

1

4

，又a₁=m，從而可判斷③；
④，分m=4或5與m∈（4，5）討論，可判斷④．

解答： 解：對于①，當(dāng)m=-

3

4

時，a₂=

4

3

，a₃=

1

3

，a₄=3，a₅=2，故①為真；
對于②，當(dāng)m=

2

時，a₂=

2

-1，a₃=

2

+1，a₄=

2

=a₁，故②為真；
對于③，由題意得

a1＞1 a2=a1-1

或

0＜a1≤1 a2= 1 a1

，∵a₂=4，
∴a₁=5或

1

4

，又a₁=m，∴m=5或

1

4

，故③假；
對于④，當(dāng)m=4或5時，顯然數(shù)列{a_n}不是周期數(shù)列，當(dāng)m∈（4，5）時，要使數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列，必須a₇=a₁，
由a₂=m-1，a₃=m-2，a₄=m-3，a₅=m-4，a₆=

1

m-4

，a₇=

1

m-4

-1，
即

1

m-4

-1=m，此時m∉Q，故④為假命題，
故選：B．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查數(shù)列的遞推關(guān)系的理解與應(yīng)用，考查函數(shù)的周期性與解方程的能力，屬于難題．