Question

20．春節(jié)期間，小王用私家車送4位朋友到三個旅游點去游玩，每位朋友在每一個景點下車的概率為$\frac{1}{3}$，用ξ表示4位朋友在第三個景點下車的人數(shù)，求：
（1）離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布；
（2）離散型隨機(jī)變量ξ的均值．

Answer 1

分析 （1）離散型隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列．
（2）由離散型隨機(jī)變量ξ的分布列，能求出離散型隨機(jī)變量ξ的均值．

解答 解：（1）離散型隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{2}^{3}}{{3}^{4}}$=$\frac{32}{81}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}•{2}^{4}}{{3}^{4}}$=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}•2}{{3}^{4}}$=$\frac{8}{81}$，
P（ξ=4）=（$\frac{1}{3}$）⁴=$\frac{1}{81}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

（2）由（1）得離散型隨機(jī)變量ξ的均值：
Eξ=$0×\frac{16}{81}+1×\frac{32}{81}+2×\frac{8}{27}+3×\frac{8}{81}+4×\frac{1}{81}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．