Question

10．定義在D上的函數f（x），若滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．
（1）設f（x）=$\frac{x}{x+1}$，判斷f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是否有有界函數，若是，說明理由，并寫出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也請說明理由；
（2）若函數g（x）=1+2^x+a•4^x在x∈[0，2]上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）=$\frac{x}{x+1}$=1-$\frac{1}{1+x}$，從而可得-1≤f（x）≤$\frac{1}{3}$；從而確定|f（x）|≤1；從而解得；
（2）由題意知|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；從而可得-$\frac{4}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$≤a≤$\frac{2}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$；從而換元令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則t∈[$\frac{1}{4}$，1]；從而可得-4t²-t≤a≤2t²-t在[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立；從而化為最值問題．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{x}{x+1}$=1-$\frac{1}{1+x}$，則f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函數；
故f（-$\frac{1}{2}$）≤f（x）≤f（$\frac{1}{2}$）；故-1≤f（x）≤$\frac{1}{3}$；
故|f（x）|≤1；
故f（x）是有界函數；
故f（x）上所有上界的值的集合為[1，+∞）；
（2）∵函數g（x）=1+2^x+a•4^x在x∈[0，2]上是以3為上界的有界函數，
∴|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；
即-3≤g（x）≤3，
∴-3≤1+2^x+a•4^x≤3，
∴-$\frac{4}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$≤a≤$\frac{2}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$；
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則t∈[$\frac{1}{4}$，1]；
故-4t²-t≤a≤2t²-t在[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立；
故（-4t²-t）_max≤a≤（2t²-t）_min，t∈[$\frac{1}{4}$，1]；
即-$\frac{1}{2}$≤a≤-$\frac{1}{8}$；
故實數a的取值范圍為[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{8}$]．

點評 本題考查了函數的化簡運算的應用及轉化思想的應用，同時考查了恒成立問題與最值問題的應用．