Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-2，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x+2014）²f（x+2014）-f（-1）＞0的解集為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解由2f（x）+xf′（x）＞x²，（-2＜x＜0），
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³，
即[x²f（x）]′＜x³＜0，
令F（x）=x²f（x），
則當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，
得F′（x）＜0，即F（x）在（-2，0）上是減函數(shù)，
∴F（x+2014）=（x+2014）²f（x+2014），F(xiàn)（-1）=f（-1），
即不等式等價(jià)為F（x+2014）-F（-1）＞0，
即F（x+2014）＞F（-1），
∵F（x）在（-2，0）是減函數(shù)，
∴由F（x+2014）＞F（-1）得，
-2＜x+2014＜-1，
即-2016＜x＜-2015，
故答案為：（-2016，-2015）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的解法，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．