Question

9．已知a，b，c為實(shí)數(shù)，2^a+4^b=2^c，4^a+2^b+1=4^c，則c的最小值為$lo{g}_{2}\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 2^a+4^b=2^c，4^a+2^b+1=4^c，2^a=-4^b+2^c，4^a=-2^b+1+4^c，化為：2×2^c=${4}^+\frac{2}{{2}^}$，令t=2^b＞0，則2×2^c=t²+$\frac{2}{t}$=f（t），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：∵2^a+4^b=2^c，4^a+2^b+1=4^c，
∴2^a=-4^b+2^c，4^a=-2^b+1+4^c，
∴-2^b+1+4^c=（2^c-4^b）²，
化為：2×2^c=${4}^+\frac{2}{{2}^}$，
令t=2^b＞0，則2×2^c=t²+$\frac{2}{t}$=f（t），
f′（t）=2t-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{2（t-1）（{t}^{2}+t+1）}{{t}^{2}}$，可得t=1時(shí)，f（t）取得極小值即最小值3（b=0）．
∴2×2^c≥3，
c≥$lo{g}_{2}\frac{3}{2}$．
∴c的最小值為$lo{g}_{2}\frac{3}{2}$．
故答案為：$lo{g}_{2}\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．