Question

5．已知函數(shù)f（x）=x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）+2的定義域?yàn)閇-2013，2013]，若函數(shù)f（x）在定義域上的最大值為M，最小值為N，y=f′（x）為函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且P=f′（-2013），Q=f′（2013），則M+N+P-Q=（　�。�

• A． -1
• B． 4
• C． -4
• D． 1

Answer 1

分析 令g（x）=x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$），從而可判斷g（x）在[-2013，2013]上為奇函數(shù)，g′（x）在[-2013，2013]上為偶函數(shù)，而f（x）=g（x）+2，從而解得．

解答 解：令g（x）=x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$），則f（x）=g（x）+2，
∵g（-x）=-x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$）
=-x+lg（$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$）
=-x-lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）
=-（x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$））
=-g（x）；
∴g（x）=x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）在[-2013，2013]上為奇函數(shù)，
∴g_max（x）+g_min（x）=0，
∴M+N=f_max（x）+f_min（x）=g_max（x）+2+g_min（x）+2=4，
∵g（x）=x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）在[-2013，2013]上為奇函數(shù)，
∴g′（x）在[-2013，2013]上為偶函數(shù)，
又∵f′（x）=g′（x），
∴P-Q=f′（-2013）-f′（2013）=g′（-2013）-g′（2013）=0，
∴M+N+P-Q=4，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．