Question

16．已知函數(shù)f（x）=（1+$\frac{a}{x}$）e^x的定義域為（-∞，0），其中a為常數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的零點
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（3）當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{a}{2}$]上是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=（1+$\frac{a}{x}$）e^x=0得1+$\frac{a}{x}$=0，從而討論方程是否有解即可；
（2）求導(dǎo)f′（x）=（1+$\frac{a}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）e^x=e^x$\frac{{x}^{2}+ax-a}{{x}^{2}}$，從而判斷導(dǎo)數(shù)的正負，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）結(jié)合（2）知f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，-$\frac{a}{2}$]；且$\underset{lim}{x→-∞}$（1+$\frac{a}{x}$）e^x=0，f（-$\frac{a}{2}$）=-${e}^{-\frac{a}{2}}$＜0，從而確定答案．

解答 解：（1）令f（x）=（1+$\frac{a}{x}$）e^x=0得，
1+$\frac{a}{x}$=0，
①當a≤0時，1+$\frac{a}{x}$≥1，故方程1+$\frac{a}{x}$=0無解，
②當a＞0時，x=-a；
故當a≤0時，函數(shù)f（x）在其定義域上沒有零點，
當a＞0時，函數(shù)f（x）在其定義域上的零點為-a．
（2）∵f（x）=（1+$\frac{a}{x}$）e^x，
∴f′（x）=（1+$\frac{a}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）e^x=e^x$\frac{{x}^{2}+ax-a}{{x}^{2}}$，
①當a≤0時，1+$\frac{a}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0在（-∞，0）上恒成立，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）；
②當a＞0時，解方程x²+ax-a=0得，
x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，x₂=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$＞0（舍去）；
故當x∈（-∞，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）時，f′（x）＞0，
當x∈（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，0）時，f′（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，0）；
（3）當a＞0時，-$\frac{a}{2}$＞$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，-$\frac{a}{2}$]；
且$\underset{lim}{x→-∞}$（1+$\frac{a}{x}$）e^x=0，f（-$\frac{a}{2}$）=-${e}^{-\frac{a}{2}}$＜0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{a}{2}$]上是存在最小值為-${e}^{-\frac{a}{2}}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的最值的求法．