Question

20．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足ccos（2016π-A）-$\sqrt{3}$ccos（$\frac{3π}{2}$-A）=a+b．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=4，△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，試求向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （I）利用誘導(dǎo)公式、正弦定理，結(jié)合和角的正弦公式，化簡(jiǎn)，即可求角C的大小；
（Ⅱ）若c=4，△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，求出a=b=4，即可求向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影．

解答 解：（I）在△ABC中，∵ccos（2016π-A）-$\sqrt{3}$ccos（$\frac{3π}{2}$-A）=a+b，
∴ccosA+$\sqrt{3}$csinA=a+b，
∴sinCcosA+$\sqrt{3}$sinCsinA=sinA+sinB
∴sinCcosA+$\sqrt{3}$sinCsinA=sinA+sin（A+C）
∴$\sqrt{3}$sinCsinA=sinA+cosCsinA，
∴$\sqrt{3}$sinC=1+cosC
∴C=60°；
（Ⅱ）∵c=4，△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，
∴16=a²+b²-ab，$\frac{1}{2}ab•\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴a=b=4
∴向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影為$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查誘導(dǎo)公式、正弦定理、和角的正弦公式，考查平面向量的數(shù)量積的定義，投影概念，注意向量的夾角，是一道綜合題．