已知函數(shù)f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數(shù)．
(1)求k的值；
(2)探究函數(shù)f(x)＝ax＋(a、b是正常數(shù))在區(qū)間和上的單調(diào)性（只需寫(xiě)出結(jié)論，不要求證明）.并利用所得結(jié)論，求使方程f(x)－log4m＝0有解的m的取值范圍．

(1);
(2)函數(shù)f(x)＝ax＋ (a、b是正常數(shù))在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù);.

解析試題分析：(1)由已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/af/3/xzmfd.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又是偶函數(shù),則可根據(jù)偶函數(shù)的定義(或者利用特殊值代入計(jì)算亦可,如),得到一個(gè)關(guān)于的方程,從而求出的值;(2)由函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),結(jié)合是可知函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù),在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù).由題意知方程,即為方程,若使方程有解,則對(duì)數(shù)式的值要在函數(shù)的值域范圍內(nèi),所以首先要求出函數(shù)的值域,對(duì)函數(shù)進(jìn)行化歸得,故原方程可化為,令,,則在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),故函數(shù)的最小值為,即當(dāng),時(shí)函數(shù)的值,所以函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/28/2/1gnga3.png" style="vertical-align:middle;" />,從而可求出.
試題解析：(1)由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可知．
∴.
即，      2分   ，        4分
∴對(duì)一切恒成立．∴.      5分
（注：利用解出，亦可得滿分)
(2)結(jié)論：函數(shù) (a、b是正常數(shù))在區(qū)間上為減函數(shù)，
在區(qū)間上為增函數(shù).                  6分
由題意知，可先求的值域，． 8分
設(shè)，又設(shè)，則，由定理，知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，    11分
∵為增函數(shù)，由題意，只須，即
故要使方程有解，的取值范圍為.        13分
考點(diǎn)：1.偶函數(shù);2.對(duì)數(shù)函數(shù);3.函數(shù);4.復(fù)合函數(shù)值域.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)（a為常數(shù)）在x=1處的切線的斜率為1．
(1)求實(shí)數(shù)a的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
(2)若不等式≥k在區(qū)間上恒成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
(Ⅰ)若，試判斷在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，若在上有個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有成立，且時(shí)，．
（1）求的值，并證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）判斷的單調(diào)性并加以證明；
（3）若在上遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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試判斷函數(shù)在[，+∞）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值與最小值；
（2）若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí), 的最大值為-4．
(I)求實(shí)數(shù)的值；
(II)設(shè)，函數(shù)，．若對(duì)任意的,總存在,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

定義在上的函數(shù)，如果對(duì)任意，恒有（，）成立，則稱為階縮放函數(shù).
（1）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的值；
（2）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求證：函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；
（3）已知函數(shù)為階縮放函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，求在（）上的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，且。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.

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