Question

設函數f（x）=x³+2ax²+bx+a的導數為f'（x），若函數y=f'（x）的圖象關于直線對稱，且函數y=f'（x）有最小值．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的極值；
（Ⅱ）已知函數g（x）=x²-14x+m，若方程f（x）+g（x）=0只有一個實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導數，可得
∵函數y=f'（x）的圖象關于直線對稱，且函數y=f'（x）有最小值．
∴，且，解得a=-2、b=5…（3分）
∴f（x）=x³-4x²+5x-2
∴f'（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1）
∴當x＜1或時，f'（x）＞0，故函數y=f（x）在（-∞，1]或上單調遞增
當時，f'（x）＜0，故函數y=f（x）在上單調遞減
∴x=1時，函數y=f（x）取得極大值f（1）=1-4+5-2=0；
時，函數y=f（x）取得極小值…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-4x²+5x-2，∴f（x）+g（x）=x³-3x²-9x+m-2
令h（x）=f（x）+g（x），則h'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴函數h（x）在（-∞，-1]上單調遞增，在[-1，3]上單調遞減，在[3，+∞）上單調遞增
∴h（x）_極大值=h（-1）=3+m，h（x）_極小值=h（3）=m-29…（9分）
∵方程f（x）+g（x）=0只有一個實根
∴或，解得m＜-3或m＞29
∴m的取值范圍是（-∞，-3）∪（29，+∞）…（12分）
分析：（Ⅰ）求導數，根據函數y=f'（x）的圖象關于直線對稱，且函數y=f'（x）有最小值，可求出函數的解析式，從而可確定函數的單調性，進而可求函數y=f（x）的極值；
（Ⅱ）確定f（x）+g（x）=x³-3x²-9x+m-2，構造函數h（x）=f（x）+g（x），確定函數的單調性與極值，利用方程f（x）+g（x）=0只有一個實根，構建不等式，從而可求m的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查函數與方程的聯系，解題的關鍵是正確求導，確定函數的單調性．