Question

已（12分）知橢圓的中心在坐標原點，離心率為，一個焦點是F（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）直線過點F交橢圓于A、B兩點，且，求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

試題分析： （1）根據(jù)已知中的條件得到離心率和a的關系式，進而得到橢圓的方程。
（2）對于直線斜率是否存在要給予討論，并聯(lián)立方程組的思想，結合韋達定理和向量關系式得到k的方程，求解得到k的值。
解：（Ⅰ）設橢圓方程為（>b>0）．
依題意，, c=1，，，………………………………2分
∴所求橢圓方程為 ．………4分
（Ⅱ）若直線的斜率k不存在，則不滿足．
當直線的斜率k存在時，設直線的方程為．因為直線過橢圓的焦點F（0，1），所以取任何實數(shù), 直線與橢圓均有兩個交點A、B．
設A 
聯(lián)立方程   消去y，
得．…………6分
，     ①
，                 ②
由F（0，1），A，
則，
，∴，
得．……………………8分
將代入①、②，
得， ③
， ④……………10分
由③、④ 得，，
化簡得，解得，.∴直線的方程為：．12分
點評：解決該試題的關鍵是熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)，根據(jù)其性質(zhì)得到參數(shù)a,b的值，進而得到其方程。同時聯(lián)立方程組，結合向量的關系式和韋達定理得到從那數(shù)k的值。