Question

如圖所示，A、B分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下頂點(diǎn)，橢圓C的焦點(diǎn)F與拋物線y²=4

2

x的焦點(diǎn)重合，且S_△ABF=

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若不過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且AP⊥AQ，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出拋物線的焦點(diǎn)，由S_△ABC=

2

，得到bc=

2

，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系，求出a，b，即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+t，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到關(guān)于x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和斜率公式，化簡(jiǎn)即可得到
t=1或-

1

2

，從而說(shuō)明直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

解答： （1）解：∵拋物線y²=4

2

x的焦點(diǎn)為（

2

，0），
∴橢圓C焦點(diǎn)F為（

2

，0），
即c=

2

，a²-b²=2，又S_△ABC=

2

，
即bc=

2

則b=1，a²=3，
∴橢圓方程為

x2

3

+y²=1；
（2）證明：設(shè)直線l：y=kx+t，p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
又

x2

3

+y²=1，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去y，即有
x²+3（k²x²+2ktx+t²）-3=0，（1+3k²）x²+bktx+（3t²-3）=0
x₁+x₂=

-6kt

1+3k2

，x₁x₂=

3t2-3

1+3k2

，
又∵AP⊥AQ，
∴k_AP•kAQ=-1即

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=-1，
即y₁y₂-（y₁+y₂）+1+x₁x₂=0，（kx₁+t）（kx₂+t）-[k（x₁+x₂）+2t]+1+x₁x₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+（kt-k）（x₁+x₂）+t²-2t+1=0，
即（1+k²）•

3t2-3

1+3k2

+k（t-1）•

-6kt

1+3k2

+t²-2t+1=0，
即

3[(t2-1)-k2(t-1)2]

1+3k2

+（t-1）²=0
即（t-1）（4t+2）=0，
∴t=1或-

1

2

，
故直線l恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），（0，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，解決問(wèn)題是解析幾何中常用的方法，必須掌握．