Question

(本小題滿分12分)如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處．AB＝20km，BC＝10km．為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與A，B等距的一點(diǎn)O處，建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO．記鋪設(shè)管道的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式： 
（i）設(shè)（rad），將表示成的函數(shù)；
（ii）設(shè)（km），將表示成的函數(shù)；
（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短。

Answer 1

;時,管道總長度最短

(1) （i）由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，
則,
故，OP＝， 。。。。。。。。。。。（2分）
所以，
所求函數(shù)關(guān)系式為①。。。。。。。（4分）
（沒注明定義域扣1分）
（ii）若OP=(km) ，則OQ＝10－，所以O(shè)A
=OB=  。。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
所求函數(shù)關(guān)系式為。。。。。。。。。（8分）
（沒注明定義域扣1分）
(2)若選擇函數(shù)模型①，設(shè)
則 
解得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
當(dāng)時,取得最小值.
故當(dāng)時,管道總長度最短.。。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
若選擇函數(shù)模型
平方化簡得

解得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
將代入方程,得
故當(dāng)時,管道總長度最短. 。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）