Question

20．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線上一點(diǎn)P作拋物線C的切線l交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)Q，當(dāng)|FD|=2時(shí)，∠PFD=60°．
（1）判斷△PFQ的形狀，并求拋物線C的方程；
（2）若A，B兩點(diǎn)在拋物線C上，且滿足$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=0$，其中點(diǎn)M（2，2），若拋物線C上存在異于A、B的點(diǎn)H，使得經(jīng)過(guò)A、B、H三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)H處有相同的切線，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x₁，y₁），求出切線l的方程，求解三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，排除邊長(zhǎng)關(guān)系，然后判斷三角形的形狀，然后求解拋物線方程．
（2）求出A，B的坐標(biāo)分別為（0，0），（4，4），設(shè)H（x₀，y₀）（x₀≠0，x₀≠4），求出AB的中垂線方程，AH的中垂線方程，解得圓心坐標(biāo)，由${k_{NH}}•\frac{x_0}{2}=-1$，求解H點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)P（x₁，y₁），
則切線l的方程為$y=\frac{x_1}{p}x-\frac{x_1^2}{2p}$，且${y_1}=\frac{x_1^2}{2p}$，
所以$D（{\frac{x_1}{2}，0}），Q（{0，-{y_1}}），|{FQ}|=\frac{p}{2}+{y_1}$，$|{PF}|=\frac{p}{2}+{y_1}$，所以|FQ|=|FP|，
所以△PFQ為等腰三角形，且D為PQ的中點(diǎn)，
所以DF⊥PQ，因?yàn)閨DF|=2，∠PFD=60°，
所以∠QFD=60°，所以$\frac{p}{2}=1$，得p=2，
所以拋物線方程為x²=4y；
（2）由已知，得A，B的坐標(biāo)分別為（0，0），（4，4），
設(shè)H（x₀，y₀）（x₀≠0，x₀≠4），
AB的中垂線方程為y=-x+4，①AH的中垂線方程為$y=-\frac{4}{x_0}x+2+\frac{x_0^2}{8}$，②
聯(lián)立①②，解得圓心坐標(biāo)為：$N（{-\frac{{x_0^2+4{x_0}}}{8}，\frac{{x_0^2+4{x_0}+32}}{8}}）$，
k_NH=$\frac{\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+32}{8}-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}}{-\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}}{8}-{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-32}{{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}}$，
由${k_{NH}}•\frac{x_0}{2}=-1$，得$x_0^3-2x_0^2-8{x_0}=0$，
因?yàn)閤₀≠0，x₀≠4，所以x₀=-2，
所以H點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．