Question

7．如圖，已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為4，側(cè)棱長為8，E、F分別為PB、PC上的動點，求截面△AEF周長的最小值，并求出此時三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

分析 沿棱AB、AC、PA剪開，得到正三棱錐的側(cè)面展開圖，在平面圖形中，利用平面幾何知識可得EF∥BC，再由△ABE∽△PBC，結(jié)合相似三角形對應邊成比例及平行線截線段成比例定理求得截面△AEF周長的最小值；由△AEF周長取最小值時E，F(xiàn)分別在PB，PC的四等分點處．可得三角形PEF面積與三角形PBC面積的關(guān)系，再求出A到側(cè)面PBC的距離，利用等積法可得三棱錐P-AEF的體積．

解答 解：如圖，沿棱AB、AC、PA剪開，得到正三棱錐的側(cè)面展開圖．

則AA₁的長為△BEF的周長的最小值．
由平面幾何知識可證△PAE≌△PA₁F，于是PE=PF，
又PB=PC，故EF∥BC．
∵∠ABE=∠PBC，∠AEB=∠PCB，
∴△ABE∽△PBC，
∴$\frac{AB}{PB}=\frac{EB}{BC}$，
∴BE=2，
AE=A₁F=4，PE=8-2=6．
由EF∥BC，有$\frac{EF}{BC}=\frac{PE}{PB}$，
∴$EF=\frac{3}{4}BC$，
∴AA₁=AE+EF+A₁F=4+3+4=11
∴△AEF周長的最小值是11，此時$PE=PF=\frac{3}{4}PB=6$，即E，F(xiàn)分別在PB，PC的四等分點處．
取BC中點G，連AG、PG，過P作PO⊥AG，垂足為O，則PO⊥平面ABC，
過A作AH⊥PG，垂足為H，則AH⊥平面PBC．
在Rt△PAO中，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}AB=\frac{4\sqrt{3}}{3}，PO=\sqrt{P{A}^{2}-O{A}^{2}}=\frac{4\sqrt{33}}{3}$，
在Rt△PBG中，PG=$\sqrt{P{B}^{2}-B{G}^{2}}=2\sqrt{15}$，又$AG=2\sqrt{3}$，
由等積原理可得，$AH=\frac{PO•AG}{PG}=\frac{4\sqrt{11}}{\sqrt{15}}$，
由于E、F是PB、PC的四等分點，
∴S_△PEF=$（\frac{3}{4}）^{2}$${S}_{△PBC}=\frac{9\sqrt{15}}{4}$，
∴${V}_{P-AEF}=\frac{1}{3}{S}_{△PEF}•AH$=$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{15}}{4}×\frac{4\sqrt{11}}{\sqrt{15}}=3\sqrt{11}$．

點評 本題考查棱錐體積的求法，考查了空間幾何體中的剪展問題，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．