定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2的奇函數(shù),且當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)=
2x
4x+1

(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)用單調(diào)性定義證明f(x)在(-1,0)上時減函數(shù);
(3)當(dāng)λ取何值時,不等式f(x)>λ在R上有解.
考點:指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題:綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)利用奇函數(shù)f(x)在x∈(0,1)時,f(x)=
2x
4x+1
即可求得f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)令-1<x1<x2<0,作差f(x1)-f(x2)后化積,判斷符號,得出f(x1)-f(x2)>0,從而證得f(x)在(-1,0)上時減函數(shù);
(3)依題意,可求得f(x)在[-1,1]上的解析式為f(x)=
2x
4x+1
,0<x<1
0,x=0,±1
-
2x
4x+1
,-1<x<0
,分別求得當(dāng)x∈(-1,0)與x∈(0,1)的值域,利用周期為2即可求得R上的值域.
解答: 解:(1)當(dāng)x∈(-1,0)時,-x∈(0,1).∴f(-x)=
2-x
4-x+1
=
2x
4x+1
.…(2分)
又f(x)是奇函數(shù),∴f (-x)=-f (x)=
2x
4x+1
.∴f(x)=-
2x
4x+1

∵f(-0)=-f(0),∴f(0)=0.….(3分)
∴f(x)在(-1,1)上的解析式為
f(x)=
2x
4x+1
,0<x<1
0,x=0
-
2x
4x+1
,-1<x<0
.….(4分)
(2)證明:令-1<x1<x2<0,則f(x1)-f(x2)=
2x2
4x2+1
-
2x1
4x1+1
=
(2x2-2x1)(1-2x2+x1)
(4x2+1)(4x1+1)
>0,
∴f(x)在(-1,0)上時減函數(shù); ….(7分)
(3)不等式f(x)>λ在R上有解的λ的取值范圍就是λ小于f(x)在R上的最大值.
又f(x)是最小正周期為2的函數(shù),∴對任意的x有f(x+2)=f(x).∴f(-1)=f(-1+2)=f(1).另一面f(-1)=-f(1),∴-f(1)=f(1).∴f(1)=f(-1)=0.∴f(x)在[-1,1]上的解析式為
f(x)=
2x
4x+1
,0<x<1
0,x=0,±1
-
2x
4x+1
,-1<x<0
.….(8分)
當(dāng)x∈(-1,0)時,有-
1
2
<f(x)=-
2x
4x+1
<-
2
5
;….(9分)
又f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)在(0,1)上也是減函數(shù),
2
5
<f(x)=
2x
4x+1
1
2
,∴f(x)在[-1,1]上的值域是(-
1
2
,-
2
5
)∪{0}∪(
2
5
,
1
2
)…10分
由f(x)是周期為2的函數(shù),故f(x)在R上的值域是(-
1
2
,-
2
5
)∪{0}∪(
2
5
,
1
2
)…11分
λ<
1
2
時,不等式f(x)>λ在R上有解.….(12分)
點評:本題考查指、對數(shù)不等式的解法,著重考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明,考查分段函數(shù)的解析式與值域的確定,考查轉(zhuǎn)化思想,是難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1)、B(4,
9
5
)、C(x2,y2)是右焦點為F的橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上三個不同的點,若|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列,則x1+x2=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用反證法證明命題“若a>b,則
3a
3b
”時,假設(shè)的內(nèi)容是(  )
A、a>b
B、a≤b
C、
3a
3b
D、
3a
3b

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

集合M={x|x=sin
3
,k∈Z}中的元素有( 。
A、無數(shù)個B、4個C、3個D、2個

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

由下面四個圖形中的點數(shù)分別給出了四個數(shù)列的前四項,將每個圖形的層數(shù)增加可得到這四個數(shù)列的后繼項.按圖中多邊形的邊數(shù)依次稱這些數(shù)列為“三角形數(shù)列”、“四邊形數(shù)列”…,將構(gòu)圖邊數(shù)增加到n可得到“n邊形數(shù)列”,記它的第r項為P(n,r).

(1)求使得P(3,r)>36的最小r的取值;
(2)試推導(dǎo)P(n,r)關(guān)于n、r的解析式;
(3)是否存在這樣的“n邊形數(shù)列”,它的任意連續(xù)兩項的和均為完全平方數(shù).若存在,指出所有滿足條件的數(shù)列,并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知扇形的周長為8cm,圓心角α為2rad,求:
(1)該扇形的面積;
(2)圓心角所對弦長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

圓O1的方程為x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心O2(2,1).
(1)若圓O2與圓O1外切,求圓O2的方程;
(2)若圓O2與圓O1交于A、B兩點,且|AB|=2
2
.求圓O2的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知tanα=-
1
3
,則sin2α+2sinαcosα-3cos2α+1=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線的一條過焦點F的弦PQ,點R在直線PQ上,且滿足
OR
=
1
2
(
OP
+
OQ
)
,R在拋物線準(zhǔn)線上的射影為S,設(shè)α,β是△PQS中的兩個銳角,則下列四個式子
①tanαtanβ=1;②sinα+sinβ≤
2
;③cosα+cosβ>1;④|tan(α-β)|>tan
α+β
2

中一定正確的有( 。
A、1個B、2個C、3個D、4個

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案