Question

定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）用單調(diào)性定義證明f（x）在（-1，0）上時(shí)減函數(shù)；
（3）當(dāng)λ取何值時(shí)，不等式f（x）＞λ在R上有解．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)f（x）在x∈（0，1）時(shí)，f（x）=

2x

4x+1

即可求得f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜0，作差f（x₁）-f（x₂）后化積，判斷符號(hào)，得出f（x₁）-f（x₂）＞0，從而證得f（x）在（-1，0）上時(shí)減函數(shù)；
（3）依題意，可求得f（x）在[-1，1]上的解析式為f（x）=

2x 4x+1 ，0＜x＜1 0，x=0，±1 - 2x 4x+1 ，-1＜x＜0

，分別求得當(dāng)x∈（-1，0）與x∈（0，1）的值域，利用周期為2即可求得R上的值域．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1）．∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

．…（2分）
又f（x）是奇函數(shù)，∴f （-x）=-f （x）=

2x

4x+1

．∴f（x）=-

2x

4x+1

．
∵f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．…．（3分）
∴f（x）在（-1，1）上的解析式為
f（x）=

2x 4x+1 ，0＜x＜1 0，x=0 - 2x 4x+1 ，-1＜x＜0

．…．（4分）
（2）證明：令-1＜x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=

2x2

4x2+1

-

2x1

4x1+1

=

(2x2-2x1)(1-2x2+x1)

(4x2+1)(4x1+1)

＞0，
∴f（x）在（-1，0）上時(shí)減函數(shù)； …．（7分）
（3）不等式f（x）＞λ在R上有解的λ的取值范圍就是λ小于f（x）在R上的最大值．
又f（x）是最小正周期為2的函數(shù)，∴對(duì)任意的x有f（x+2）=f（x）．∴f（-1）=f（-1+2）=f（1）．另一面f（-1）=-f（1），∴-f（1）=f（1）．∴f（1）=f（-1）=0．∴f（x）在[-1，1]上的解析式為
f（x）=

2x 4x+1 ，0＜x＜1 0，x=0，±1 - 2x 4x+1 ，-1＜x＜0

．…．（8分）
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有-

1

2

＜f（x）=-

2x

4x+1

＜-

2

5

；…．（9分）
又f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）在（0，1）上也是減函數(shù)，
∴

2

5

＜f（x）=

2x

4x+1

＜

1

2

，∴f（x）在[-1，1]上的值域是（-

1

2

，-

2

5

）∪{0}∪（

2

5

，

1

2

）…10分
由f（x）是周期為2的函數(shù)，故f（x）在R上的值域是（-

1

2

，-

2

5

）∪{0}∪（

2

5

，

1

2

）…11分
λ＜

1

2

時(shí)，不等式f（x）＞λ在R上有解．…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查指、對(duì)數(shù)不等式的解法，著重考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，考查分段函數(shù)的解析式與值域的確定，考查轉(zhuǎn)化思想，是難題．