Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n項和．求證：

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

．

Answer 1

證明：由已知，得S_n=3ⁿ-1
要證明

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

等價于

3n+1-1

3n-1

≤

3n+1

n

即3ⁿ≥2n+1（*）
（方法一）用數(shù)學歸納法證明
①當n=1時，左邊=3，右邊=3，所以（*）式成立
②假設當n=k時（*）成立，即3^k≥2k+1
那么當n=k+1時，3^k+1=3×3^k≥3（2k+1）=6k+3≥2k+3=2（k+1）+1
所以當n=k+1時（*）也成立
綜合①②可得，3ⁿ≥2n+1

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

（法二）當n=1時，左邊=，右邊=4，所以（*）成立
當n≥2時，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=1+2n+…＞1+2n

所以

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n