Question

如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)為F₁（1，0）、F₂（-1，0），離心率為，過(guò)點(diǎn)A（2，0）的直線(xiàn)l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）①求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍；
②在直線(xiàn)l的斜率k不斷變化過(guò)程中，探究∠MF₁A和∠NF₁F₂是否總相等？若相等，請(qǐng)給出證明，若不相等，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由已知條件知，，解得，
又b²=a²-c²=1，
所以橢圓C的方程為；
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-2），
聯(lián)立，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²=2=0，①
由于直線(xiàn)l與橢圓C相交，
所以△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
解得直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍是；
②∠MF₁A和∠NF₁F₂總相等．
證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，
所以tan∠MF₁A-tan∠NF₁F₂====，
所以tan∠MF₁A=tan∠NF₁F₂，又∠MF₁A和∠NF₁F₂均為銳角，
所以∠MF₁A=∠NF₁F₂．
分析：（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率可得，再根據(jù)b²=a²-c²即可求得a，b，c；
（2）①設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-2），與橢圓方程聯(lián)立方程組，消掉y，由線(xiàn)l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)可得△＞0，解出即得k的范圍．②設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），tan∠MF₁A-tan∠NF₁F₂=，通分然后利用韋達(dá)定理可證tan∠MF₁A-tan∠NF₁F₂=0，即tan∠MF₁A=tan∠NF₁F₂，再由兩角范圍即可證明兩角相等；
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題及橢圓方程的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．