Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cos（2x-

2π

3

），則下列結(jié)論正確的是

 

（寫出所有正確的編號(hào)）．
①f（x）的最小正周期為π；
②f（x）在區(qū)間[

5π

6

，

7π

6

]上單調(diào)遞增；
③f（x）取得最大值的x的集合為{x|x=

π

3

+

k

2

π，k∈Z}；
④將f（x）的圖象向左平移

7π

12

個(gè)單位，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象；
⑤當(dāng)x∈[

π

6

，

5π

12

]時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）-m=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則m∈[1，

3

）．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得到結(jié)論．

解答： 解：對(duì)于函數(shù)f（x）=2cos（2x-

2π

3

），由于它的周期為

2π

2

=π，故①正確．
令2kπ-π≤2x-

2π

3

≤2kπ，k∈z，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z，故f（x）在區(qū)間[

5π

6

，

7π

6

]上單調(diào)遞增，故②正確．
令2x-

2π

3

=2kπ，求得x=kπ+

π

3

，k∈z，故f（x）取得最大值的x的集合為{x|x=

π

3

+kπ，k∈Z}，
故③不正確．
將f（x）的圖象向左平移

7π

12

個(gè)單位，得到函數(shù)y=2cos[2（x+

7π

12

）-

2π

3

]=2cos（2x+

π

2

）
=2sin2x的圖象，由于y=-2sin2x為奇函數(shù)，故④正確．
當(dāng)x∈[

π

6

，

5π

12

]時(shí)，2x-

2π

3

∈[-

π

3

，

π

6

]，f（x）∈[1，2]．
若關(guān)于x的方程f（x）-m=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
則函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m只有一個(gè)交點(diǎn)，
則m=2，或1＜m＜

3

，故⑤不正確，
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．