Question

9．已知?jiǎng)狱c(diǎn)A（2，0），B（4，0），動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y²=-4x上運(yùn)動(dòng)，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$取得最小值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{4}$t²，t），從而得到向量$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$關(guān)于t的坐標(biāo)形式，算出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-2）（-$\frac{1}{4}$t²-4）+t²=$\frac{1}{16}$t⁴+$\frac{5}{2}$t²+8．再根據(jù)平方非負(fù)的性質(zhì)加以計(jì)算，可得當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí)$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最小值為8，求得此時(shí)P的坐標(biāo)．

解答 解：由點(diǎn)P在拋物線y²=-4x上移動(dòng)，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{4}$t²，t），
∵A（2，0）、B（4，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-2，t），$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-4，t），
根據(jù)向量數(shù)量積的公式，
可得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-2）（-$\frac{1}{4}$t²-4）+t²=$\frac{1}{16}$t⁴+$\frac{5}{2}$t²+8，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$≥8，
$\frac{1}{16}$t⁴≥0且t²≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)即P坐標(biāo)為（0，0）時(shí)，等號(hào)成立．
即當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí)$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最小值為8．
故答案為：（0，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題給出定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)與拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P，求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最小值，著重考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．