Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}，（x≥0）}\\{ln（-x），（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a＞1．
（1）寫出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間（不需寫過程）；
（2）若f（x）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)有兩對(duì)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}，（x≥0）}\\{ln（-x），（x＜0）}\end{array}\right.$，a＞1，結(jié)合二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)有兩對(duì)，則函數(shù)y=lnx與$y={\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}$的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，$\frac{a-1}{a}$]；
（2）若f（x）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)有兩對(duì)，
則函數(shù)y=lnx與$y={\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}$的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)g（x）=${\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}-lnx$有兩個(gè)零點(diǎn)；
∵g′（x）=ax+（1-a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{{ax}^{2}+（1-a）x-1}{x}$，
令g′（x）=0，則x=1，或x=-$\frac{1}{a}$（舍去），
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
故x=1時(shí)，g（x）取小值為$-\frac{a}{2}+1+\frac{3}{2a}$，
則$-\frac{a}{2}+1+\frac{3}{2a}$＜0，
解得：a＞3，或-1＜a＜0（舍去），
綜上所述：a＞3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)圖象的交點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．