6.已知函數(shù)f(x)=alnx+$\frac{1}{2}$x2,a∈R.
(1)若a=-1時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(2)當(dāng)x≥1時,f(x)>lnx恒成立,求a的取值.

分析 (1)當(dāng)a=-1時,f(x)=-lnx+$\frac{1}{2}$x2的定義域為(0,+∞),求導(dǎo)f′(x)=$\frac{(x-1)(x+1)}{x}$,從而確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與單調(diào)性;
(2)由題意知x=1時f(1)=$\frac{1}{2}$>0顯然成立;而當(dāng)x>1時,lnx>0,從而化為a>1-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$恒成立,令g(x)=1-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$,從而解得.

解答 解:(1)當(dāng)a=-1時,f(x)=-lnx+$\frac{1}{2}$x2的定義域為(0,+∞),
f′(x)=-$\frac{1}{x}$+x=$\frac{(x-1)(x+1)}{x}$,
故當(dāng)x∈(0,1)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)>0;
故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞).
(2)∵f(x)>lnx恒成立,
∴alnx+$\frac{1}{2}$x2>lnx恒成立,
當(dāng)x=1時,f(1)=$\frac{1}{2}$>0顯然成立;
當(dāng)x>1時,lnx>0,
故a>1-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$恒成立,
令g(x)=1-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$,
故g′(x)=$\frac{x(1-2lnx)}{2(lnx)^{2}}$,
故g(x)在(1,$\sqrt{e}$)上是增函數(shù),在($\sqrt{e}$,+∞)上是減函數(shù);
故gmax(x)=g($\sqrt{e}$)=1-e,
故a>1-e.

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題與最值問題.

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