Question

已知向量

a

=(

2

sin

x

2

，cos

x

2

-sin

x

2

)，

b

=(

2

cos

x

2

，

3

cos

x

2

+

3

sin

x

2

)，x∈[0，

π

2

]．
（1）若f(x)=

a

•

b

，當(dāng)函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)，求自變量x的值；
（2）在（1）的條件下，設(shè)g（x）=f（x）+|

a

|²，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合x(chóng)∈[0，

π

2

]，即可求得函數(shù)的最大值；
（2）先化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合角的范圍，即可求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵

a

=(

2

sin

x

2

，cos

x

2

-sin

x

2

)，

b

=(

2

cos

x

2

，

3

cos

x

2

+

3

sin

x

2

)
∴f(x)=

a

•

b

=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，函數(shù)取得最大值2；
（2）g（x）=f（x）+|

a

|²=sinx+

3

cosx+(

2

sin

x

2

)2+(cos

x

2

-sin

x

2

)2=（

3

+1）cosx+2
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx∈[0，1]，
∴g（x）∈[2，

3

+3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵．