Question

2．已知直角坐標(biāo)平面O-XY上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記P點(diǎn)的軌跡為曲線C，則直線l：2x-3y+4=0與曲線C的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，分P的橫坐標(biāo)小于等于0和大于0兩種情況討論，橫坐標(biāo)小于等于0時(shí)，明顯看出P的軌跡是x軸負(fù)半軸，x大于0時(shí)直接由題意列式化簡(jiǎn)整理即可，從而可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（x，y），
由P到定點(diǎn)F（1，0）的距離為$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
P到y(tǒng)軸的距離為|x|，
當(dāng)x≤0時(shí)，P的軌跡為y=0（x≤0）；
當(dāng)x＞0時(shí)，又動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離比P到y(tǒng)軸的距離大1，
列出等式：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$-|x|=1，
化簡(jiǎn)得y²=4x（x≥0），為焦點(diǎn)為F（1，0）的拋物線．
則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x或y=0（x≤0）．
直線l：2x-3y+4=0與曲線C聯(lián)立，可得y²-6y+8=0或y=0，x=-2，
∴直線l：2x-3y+4=0與曲線C的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求軌跡方程的方法：直接法，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，屬于中檔題和易錯(cuò)題．