Question

如圖，已知定點(diǎn)R（0，-3），動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在x軸和y軸上移動(dòng)，延長(zhǎng)PQ至點(diǎn)M，使，且．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C₁；
（2）圓C₂：x²+（y-1）²=1，過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線l依次交C₁于A，D兩點(diǎn)（從左到右），交C₂于B，C兩點(diǎn)（從左到右），求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M的坐標(biāo)，表示出P，Q的坐標(biāo)，可得的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式，可得軌跡方程，從而可得軌跡；
（2）由題意，=AB•CD，AB=FA-FB=y₁+1-1=y₁，CD=y₂，設(shè)出直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)M（x，y），則
由，可得
∴
∵，
∴
∴x²=4y
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C₁是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上的拋物線；
（2）證明：由題意，=AB•CD，圓C₂：x²+（y-1）²=1的圓心即為拋物線C₁的焦點(diǎn)F
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則AB=FA-FB=y₁+1-1=y₁，
同理CD=y₂，
設(shè)直線的方程為x=k（y-1）
代入拋物線方程可得k²y²-（2k²-4）y+k²=0
∴=AB•CD=y₁y₂=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．