(2013•南通一模)如圖,已知定點R(0,-3),動點P,Q分別在x軸和y軸上移動,延長PQ至點M,使
PQ
=
1
2
QM
,且
PR
PM
=0

(1)求動點M的軌跡C1;
(2)圓C2:x2+(y-1)2=1,過點(0,1)的直線l依次交C1于A,D兩點(從左到右),交C2于B,C兩點(從左到右),求證:
AB
CD
為定值.
分析:(1)設(shè)M的坐標(biāo),表示出P,Q的坐標(biāo),可得
PR
,
PM
的坐標(biāo),利用數(shù)量積公式,可得軌跡方程,從而可得軌跡;
(2)由題意,
AB
CD
=AB•CD,AB=FA-FB=y1+1-1=y1,CD=y2,設(shè)出直線方程代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理,即可得到結(jié)論.
解答:(1)解:設(shè)M(x,y),則
PQ
=
1
2
QM
,可得P(-
x
2
,0),Q(0,
y
3
)

PR
=(
x
2
,-3),
PM
=(
3x
2
,y)

PR
PM
=0
,
(
x
2
,-3)•(
3x
2
,y)=0

∴x2=4y
∴動點M的軌跡C1是頂點在原點,開口向上的拋物線;
(2)證明:由題意,
AB
CD
=AB•CD,圓C2:x2+(y-1)2=1的圓心即為拋物線C1的焦點F
設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),則AB=FA-FB=y1+1-1=y1,
同理CD=y2,
設(shè)直線的方程為x=k(y-1)
代入拋物線方程可得k2y2-(2k2-4)y+k2=0
AB
CD
=AB•CD=y1y2=1.
點評:本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查向量知識的運用,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南通一模)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一個焦點與圓x2+y2-10x=0的圓心重合,且雙曲線的離心率等于
5
,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
5
-
y2
20
=1
x2
5
-
y2
20
=1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南通一模)已知命題p:“正數(shù)a的平方不等于0”,命題q:“若a不是正數(shù),則它的平方等于0”,則p是q的
否命題
否命題
.(從“逆命題、否命題、逆否命題、否定”中選一個填空)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南通一模)曲線f(x)=
f′(1)
e
ex-f(0)x+
1
2
x2
在點(1,f(1))處的切線方程為
y=ex-
1
2
y=ex-
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南通一模)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S9=-36,S13=-104,則a5與a7的等比中項為
±4
2
±4
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南通一模)已知數(shù)列{an}滿足:a1=2a-2,an+1=aan-1+1 (n∈N*)
(1)若a=-1,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若a=3,試證明:對?n∈N*,an是4的倍數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案