Question

已知函數(shù)f（x）=（x+a）e^x，其中A為常數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）是區(qū)間[-3，+∞）上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）≥e²在x∈[0，2]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）是區(qū)間[-3，-∞）上的增函數(shù)，可得f′（x）≥0，即x+a+1≥0在[-3，+∞）上恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）f（x）≥e²在x∈[0，2]時(shí)恒成立，等價(jià)于f（x）_min≥e²在x∈[0，2]時(shí)恒成立，分類討論，求出函數(shù)的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=（x+a）e^x，
所以f′（x）=（x+a+1）e^x，-------------------------------（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是區(qū)間[-3，+∞）上的增函數(shù)，
所以f′（x）≥0，即x+a+1≥0在[-3，+∞）上恒成立．------------------------------（3分）
因?yàn)閥=x+a+1是增函數(shù)，
所以滿足題意只需-3+a+1≥0，即a≥2．-------------------------------（5分）
（Ⅱ）令f′（x）=0，解得x=-a-1-------------------------------（6分）
f（x），f′（x）的情況如下：

x	（-∞，-a-1）	-a-1	（-a-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

--------------------------------------（10分）
①當(dāng)-a-1≤0，即a≥-1時(shí)，f（x）在[0，2]上的最小值為f（0），
若滿足題意只需f（0）≥e²，解得a≥e²；--------------------------------------（11分）
②當(dāng)0＜-a-1＜2，即-3＜a＜-1時(shí)，f（x）在[0，2]上的最小值為f（-a-1），
若滿足題意只需f（-a-1））≥e²，求解可得此不等式無解，
所以a不存在；------------------------（12分）
③當(dāng)-a-1≥2，即a≤-3時(shí)，f（x）在[0，2]上的最小值為f（2），
若滿足題意只需需f（2）≥e²，解得a≥-1，
所以此時(shí)，a不存在．------------------------------（13分）
綜上討論，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[e²，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．