Question

某電視臺(tái)組織一檔公益娛樂節(jié)目，規(guī)則如下：箱中裝有2個(gè)紅球3個(gè)白球，參與者從中隨機(jī)摸出一球，若為白球，將其放回箱中，并再次隨機(jī)摸球；若為紅球，則紅球不放回并往箱中添加一白球，再次隨機(jī)摸球．如果連續(xù)兩次摸得白球，則摸球停止．設(shè)摸球結(jié)束時(shí)參與者摸出的紅球數(shù)是隨機(jī)變量譽(yù)，受益人獲得的公益金y．與摸出的紅球數(shù)ξ的關(guān)系是y=20000+5000ξ（單位：元）．
（Ⅰ）求在第一次摸得紅球的條件下，贏得公益金為30000元的概率；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的分布列與期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：

分析：（Ⅰ）在摸得第一個(gè)紅球的條件下，箱內(nèi)有1個(gè)紅球4個(gè)白球，摸球結(jié)束時(shí)羸得公益金為30000元的情形是先摸得紅球或先摸得白球再摸得紅球，由此能求出其概率．
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量y_ξ的取值為20000，25000，30000，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量y_ξ的分布列和Ey_ξ．

解答： （Ⅰ）解：在摸得第一個(gè)紅球的條件下，箱內(nèi)有1個(gè)紅球4個(gè)白球，
摸球結(jié)束時(shí)羸得公益金為30000元的情形是：
先摸得紅球或先摸得白球再摸得紅球，其概率為：
p=

1

5

+

4

5

•

1

5

=

9

25

．
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，
對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量y_ξ的取值為20000，25000，30000，
∵P（ξ=0）=（

3

5

）²=

9

25

，
P（ξ=1）=（

2

5

+

3

5

•

2

5

）•（

4

5

）²=

256

625

，
P（ξ=2）=1-

9

25

-

256

625

=

144

625

，
∴隨機(jī)變量y_ξ的分布列為：

yξ	20000	25000	30000
9 25	9 25	256 625	144 625

∴Ey_ξ=20000×

9

25

+25000×

256

625

+30000×

144

625

=24352．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合的合理運(yùn)用．