Question

如圖，是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，平面AEC外一點(diǎn)F滿足，．
（1）證明：EB⊥FD；
（2）已知點(diǎn)Q，R為線段FE，F(xiàn)B上的點(diǎn)，，，求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明EB⊥FD，我們可以轉(zhuǎn)化為證明EB⊥平面BDF，由，，我們易得△EBF為直角三角形，即EB⊥BF，又由E是半圓的中點(diǎn)，則其圓心角∠EBD=90°，結(jié)合線面垂直的判斷定理和定義，不難給出結(jié)論．
（2）要求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值，關(guān)鍵是要根據(jù)二面角的定義，先求出二面角的平面角，根據(jù)（1）的結(jié)論和已知我們可得DG⊥平面BDF，DG⊥DR，DG⊥DQ，即∠RDB是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角，解三角形RDB即可得到結(jié)論．
解答：（1）證明：連接CF，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214029161196680/SYS201310232140291611966012_DA/3.png">是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以EB⊥AC．
在RT△BCE中，．
在△BDF中，，△BDF為等腰三角形，且點(diǎn)C是底邊BD的中點(diǎn)，故CF⊥BD．
在△CEF中，，所以△CEF為Rt△，且CF⊥EC．
因?yàn)镃F⊥BD，CF⊥EC，且CE∩BD=C，所以CF⊥平面BED，
而EB?平面BED，∴CF⊥EB．
因?yàn)镋B⊥AC，EB⊥CF，且AC∩CF=C，所以EB⊥平面BDF，
而FD?平面BDF，∴EB⊥FD．
（2）解：設(shè)平面BED與平面RQD的交線為DG．
由，，知QR∥EB．
而EB?平面BDE，∴QR∥平面BDE，
而平面BDE∩平面RQD=DG，
∴QR∥DG∥EB．
由（1）知，BE⊥平面BDF，∴DG⊥平面BDF，
而DR，DB?平面BDF，∴DG⊥DR，DG⊥DB，
∴∠RDB是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角．
在Rt△BCF中，，，．
在△BDR中，由知，，
由余弦定理得，=
由正弦定理得，，即，．
故平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值為．
點(diǎn)評(píng)：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠RDB為平面BED與平面RQD所成二面角的平面角，通過(guò)解∠RDB所在的三角形求得∠RDB．其解題過(guò)程為：作∠RDB→證∠RDB是二面角的平面角→計(jì)算∠RDB，簡(jiǎn)記為“作、證、算”．