Question

如圖，是半徑為2的一個半圓，O為圓心，A、B是直徑的兩個端點，M、N為半圓弧上的兩個動點(點M不與A重合)，點P在半徑OA上，OP=a(a為定值)，其中0＜a＜2，∠AOM=2∠BPN，直線PN與OM相交于點Q.能否找到兩條相交直線，使動點Q到這兩條直線的距離之積為定值？若能，請求出這個定值；若不能，請說明理由.

Answer 1

答案：解：以O為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標系，

則半圓O的方程為x²+y²=4(y≥0)，

設∠AOM=2α(0＜2α≤π)，則∠BPN=α，

∠APN=π-α，點M坐標為(2cos2α，2sin2α)，

直線OM的方程為y=xtan2α，

直線PN的方程為y=-(x-a)tanα，

由以上兩方程消去α，

可得y[1-]=，

即1-=，

也即(x-a)²-y²=-2x(x-a)，

即3(x-a)²-y²=，

由此可知點Q在雙曲線3(x-a)²-y²=上運動.

而該雙曲線的漸近線方程為3(x-)²-y²=0，

即y=(x-a).

設Q(x，y)到兩漸近線的距離分別為d₁、d₂，則3(x-)²-y²=總成立.

且d₁·d₂=

=.