Question

關(guān)于x的方程a2x+(1+

1

m

)ax+1=0 (a＞0，a≠1)有解，則m的取值范圍是（　�。�

A．[- 1 3 ，0)

B．[- 1 3 ，0)∪(0，1]

C．(-∞，- 1 3 ]

D．[1，+∞）

Answer 1

令t=a^x，則原方程化為：
t²+（1+

1

m

）t+1=0，這是個關(guān)于t的一元二次方程，
而且，由于t=a^x，根據(jù)指數(shù)函數(shù)（或是冪函數(shù)）的定義，必有t=a^x＞0，
∴此關(guān)于t的一元二次方程必然要存在實根，且實根無論個數(shù)如何，都必須使正的
方程有實根的條件是：
△=（1+

1

m

）²-4≥0
1+

2

m

+（

1

m

）²-4≥0
3-

2

m

-（

1

m

）²≤0
m作為分母必有：m≠0，∴m²＞0，不等式兩側(cè)同時乘以m²，得：
3m²-2m-1≤0
-

1

3

≤m≤1   ①
方程具有正實根的條件是：
t₁+t₂=-（1+

1

m

）＞0
t₁t₂=1＞0
下面的式子顯然成立，上面的不等式進一步化簡有：

m+1

m

＜0
＜=＞-1＜m＜0   ②
取①，②的交集，就能得到m的取值范圍是：
-

1

3

≤m＜0
故選A．