Question

如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖1；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A，B恰好重合，如圖2；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3．圖3中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的像就是n，記作f（m）=n．則在下列說(shuō)法中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
①f（）=1；②f（x）為奇函數(shù)；③f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增；④f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（）對(duì)稱．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：由題中對(duì)映射運(yùn)算描述，對(duì)四個(gè)命題逐一判斷其真?zhèn)危?br />①m=此時(shí)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，求出直線AM的方程后易得N的橫坐標(biāo)．
②可由偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱來(lái)確定正誤，
③可由圖3，由M的運(yùn)動(dòng)規(guī)律觀察出函數(shù)值的變化，得出單調(diào)性，
④可由圖3中圓關(guān)于Y軸的對(duì)稱判斷出正誤
解答：解：由題意①是錯(cuò)誤命題，因?yàn)楫?dāng)m=此時(shí)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，此時(shí)直線AM的方程為y=x+1，即f（）=；
②是錯(cuò)誤命題，由函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而m∈（0，1），不是奇函數(shù)；
③是正確命題，由圖3可以看出，m由0增大到1時(shí)，M由A運(yùn)動(dòng)到B，此時(shí)N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動(dòng)，由此知，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增是正確的；
④是正確命題，由圖3可以看出，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時(shí)，N點(diǎn)關(guān)于Y軸對(duì)稱，即此時(shí)函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱
綜上知，③④是正確命題，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查映射的概念，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中所給的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正確認(rèn)識(shí)三個(gè)圖象的意義，由此對(duì)四個(gè)命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數(shù)于形，是一個(gè)考查理解能力的題，對(duì)題設(shè)中所給的關(guān)系進(jìn)行探究，方可得出正確答案，本題易因?yàn)槔斫獠涣祟}意而導(dǎo)致無(wú)法下手，題目較抽象．