(2011•資陽(yáng)一模)如圖展示了一個(gè)由區(qū)間(0,1)到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程:區(qū)間(0,1)中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M,如圖①;將線(xiàn)段AB圍成一個(gè)圓,使兩端點(diǎn)A、B恰好重合,如圖②;再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中,使其圓心在y軸上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),在圖形變化過(guò)程中,圖①中線(xiàn)段AM的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于圖③中的弧ADM的長(zhǎng)度,如圖③.圖③中直線(xiàn)AM與x軸交于點(diǎn)N(n,0),則m的象就是n,記作f(m)=n.

給出下列命題:
①f(
1
4
)=1;
②f(x)是奇函數(shù);
③f(x)在定義域上單調(diào)遞增;
④f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,0)對(duì)稱(chēng). 
則所有真命題的序號(hào)是
③④
③④
.(填出所有真命題的序號(hào))
分析:①當(dāng)m=
1
4
時(shí),此時(shí)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上,此時(shí)可以求出對(duì)應(yīng)直線(xiàn)AM的方程,進(jìn)而可求n.
②由定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),可判斷函數(shù)不是奇函數(shù).
③在圓上,當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí),可判斷函數(shù)的單調(diào)性.
④根據(jù)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,可知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性.
解答:解:①因?yàn)锳B=1,所以圓的周長(zhǎng)為1,由2πr=1,所以解得圓的半徑r=
1
,所以圓心坐標(biāo)為(0,1-
1
),當(dāng)m=
1
4
時(shí),此時(shí)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上,此時(shí)M的坐標(biāo)為(-
1
,1-
1
),對(duì)應(yīng)直線(xiàn)AM的方程為y=x+1.當(dāng)y=0時(shí),解得x=-1,即N(-1,0),所以n=-1,即f(
1
4
)=-1,所以①錯(cuò)誤.
②由定義可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?,1),關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng),所以函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù),所以②錯(cuò)誤.
③由圖3可以看出,m由0增大到1時(shí),M由A運(yùn)動(dòng)到B,此時(shí)N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動(dòng),由此知,N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大,故f(x)在定義域上單調(diào)遞增.所以③正確.
④由圖3可以看出,當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時(shí),N點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),即此時(shí)函數(shù)值互為相反數(shù),故可知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,0)對(duì)稱(chēng),所以④正確.
故答案為:③④.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,考查學(xué)生的閱讀和分析能力.本題難度較大,正確閱讀題意是解題的關(guān)鍵.
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(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
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(2011•資陽(yáng)一模)△ABC中,∠A=
π
3
,BC=3,AB=
6
,則∠C=
π
4
π
4

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π
6
取得最大值2,方程f(x)=0的兩個(gè)根為x1、x2,且|x1-x2|的最小值為π.
(1)求f(x);
(2)將函數(shù)y=f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的
1
2
,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在[-
π
4
,
π
4
]上的值域.

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(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象與y=
13
f′(x)+5x+m
的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)P,使得過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)若能與曲線(xiàn)y=f(x)圍成兩個(gè)封閉圖形,則這兩個(gè)封閉圖形的面積相等?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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