Question

已知圓C₁的方程為x²+（y-2）²=1，定直線l的方程為y=-1．動(dòng)圓C與圓C₁外切，且與直線l相切．
（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程；
（2）直線l′與軌跡M相切于第一象限的點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l′的垂線恰好經(jīng)過點(diǎn)A（0，6），并交軌跡M于異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q，求直線PQ的方程及弦|PQ|的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為（x，y），動(dòng)圓半徑為R，利用動(dòng)圓C與圓C₁外切，且與直線l相切，可建立方程，化簡(jiǎn)，即可得到動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程；
（ II）確定點(diǎn)P坐標(biāo)，直線PQ的方程與拋物線方程聯(lián)立，即可求出弦|PQ|的長(zhǎng)．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為（x，y），動(dòng)圓半徑為R，
則|CC1|=

x2+(y-2)2

=R+1，且|y+1|=R---（2分）
可得 

x2+(y-2)2

=|y+1|+1．
由于圓C₁在直線l的上方，所以動(dòng)圓C的圓心C應(yīng)該在直線l的上方，所以有y+1＞0，
從而得

x2+(y-2)2

=y+2，整理得x²=8y，即為動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程．---（6分）
（2）如圖示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，

x02

8

)，則切線的斜率為

x0

4

，可得直線PQ的斜率為-

4

x0

，
所以直線PQ的方程為y-

x02

8

=-

4

x0

(x-x0)．
由于該直線經(jīng)過點(diǎn)A（0，6），所以有6-

x02

8

=4，得x02=16．
因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，
所以x₀=4，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，2），直線PQ的方程為x+y-6=0．---（10分）
把直線PQ的方程與軌跡M的方程聯(lián)立得x²+8x-48=0，解得x=-12或4，
∴|PQ|=

1+k2

|x2-x1|=16

2

---（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查曲線的切線，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，確定P、Q的坐標(biāo)是關(guān)鍵．