Question

若曲線y=1+，x∈[-2，2]與直線y=k（x-2）+4有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先將曲線進(jìn)行化簡(jiǎn)得到一個(gè)圓心是（0，1）的上半圓，直線y=k（x-2）+4表示過定點(diǎn)（2，4）的直線，利用直線與圓的位置關(guān)系可以求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：解：因?yàn)閥=1+，所以x²+（y-1）²=4，此時(shí)表示為圓心M（0，1），半徑r=2的圓．
因?yàn)閤∈[-2，2]，y=1+≥1，所以表示為圓的上部分．
直線y=k（x-2）+4表示過定點(diǎn)P（2，4）的直線，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有圓心到直線kx-y+4-2k=0的距離d=，解得．
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（-2，1）時(shí)，直線PB的斜率為．
所以要使直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則必有＜k≤．
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（，]．
故答案為：（，]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及直線的斜率和距離公式．利用數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)要注意曲線化簡(jiǎn)之后是個(gè)半圓，而不是整圓，這點(diǎn)要注意，防止出錯(cuò)．