Question

4．設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過焦點(diǎn)的直線分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B作l的垂線，垂足C，D．若|AF|=2|BF|，且三角形CDF的面積為$\sqrt{2}$，則p的值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用拋物線的定義，結(jié)合|AF|=2|BF|，求出CD，利用三角形CDF的面積為$\sqrt{2}$，即可求出p的值．

解答 解：如圖所示，M是AC的中點(diǎn)，則x+$\frac{1}{3}x$=p，∴x=$\frac{3}{4}$p，
∴AB=$\frac{9}{4}$p，∴CD=MB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$p，
∵三角形CDF的面積為$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}p×p=\sqrt{2}$，
∴$p=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，求出CD是關(guān)鍵．