Question

已知x_i∈[0，10]（i=1，2，…，10），x₁，x₂，…，x₁₀的平均數(shù)為7.5，當(dāng)(x1-10)2+(x2-10)2+…+(x10-10)2取得最大值時，x₁，x₂，…，x₁₀這十個數(shù)中等于0的數(shù)的個數(shù)為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根據(jù)平均數(shù)為75，先將(x1-10)2+(x2-10)2+…+(x10-10)2化成(x1-7.5)2+(x2-7.5)2+…+(x10-7.5)2+62.5，從而有當(dāng)(x1-10)2+(x2-10)2+…+(x10-10)2取得最大值等價于x₁，x₂，…，x₁₀的方差取得最大值，再根據(jù)方差的意義，從而x₁，x₂，…，x₁₀中盡可能多地取0或10，分類討論：①假設(shè)x₁，x₂，…，x₁₀這十個數(shù)9個都取0或10，②假設(shè)x₁，x₂，…，x₁₀這十個數(shù)都取0或10，即可求出答案．

解答：解：∵(x1-10)2+(x2-10)2+…+(x10-10)2
=(x1-7.5)2+(x2-7.5)2+…+(x10-7.5)2+62.5，
∴當(dāng)(x1-10)2+(x2-10)2+…+(x10-10)2取得最大值等價于x₁，x₂，…，x₁₀的方差取得最大值，
根據(jù)方差的意義，從而x₁，x₂，…，x₁₀中盡可能多地取0或10，
①假設(shè)x₁，x₂，…，x₁₀這十個數(shù)9個都取0或10，設(shè)有n個0，9-n個10，
則75=x₁+x₂+…+x₁₀，解得n=2.5不合題意；
②假設(shè)x₁，x₂，…，x₁₀這十個數(shù)都取0或10，設(shè)有n個0，10-n個10，另一個為a，
則75=x₁+x₂+…+x₁₀，0+10（9-n）+a=75，解得n=

15+a

10

∈（1.5，2.5），
取n=2，a=5，此時方差最大，合題意．
故選C．

點評：本題考查方差的意義：一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，x₁，x₂，…x_n，則方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．