【題目】在平面直角坐標(biāo)系中已知橢圓過(guò)點(diǎn),其左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若A,B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足,且MA交橢圓E于點(diǎn)P.
(i)求證:為定值;
(ii)設(shè)PB與以PM為直徑的圓的另一交點(diǎn)為Q,問(wèn):直線MQ是否過(guò)定點(diǎn),并說(shuō)明理由.
【答案】(1) (2) (i)證明見(jiàn)解析,定值為4 (ii)直線過(guò)定點(diǎn).
【解析】
(1)由題意得離心率公式和點(diǎn)滿足的方程,結(jié)合橢圓的的關(guān)系,可得,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)(i)設(shè),求得直線MA的方程,代入橢圓方程,解得點(diǎn)P的坐標(biāo),再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,計(jì)算即可得證;
(ii)直線MQ過(guò)定點(diǎn)O(0,0).先求得PB的斜率,再由圓的性質(zhì)可得MQ⊥PB,求出MQ的斜率,再求直線MQ的方程,即可得到定點(diǎn).
解:(1)易得且,
解得
所以橢圓E的方程為
(2)設(shè),
①易得直線的方程為:,
代入橢圓得,,
由得,,從而,
所以示,
②直線過(guò)定點(diǎn),理由如下:
依題意,,
由得,,
則的方程為:,即,
所以直線過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求的取值范圍;
(3)若,從數(shù)列中抽出部分項(xiàng)(奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均不少于兩項(xiàng)),將抽出的項(xiàng)按照某一順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列.當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項(xiàng)數(shù)最大時(shí),求所有滿足條件的等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年中秋節(jié)到來(lái)之際,某超市為了解中秋節(jié)期間月餅的銷售量,對(duì)其所在銷售范圍內(nèi)的1000名消費(fèi)者在中秋節(jié)期間的月餅購(gòu)買量單位:進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到如下頻率分布直方圖:
求頻率分布直方圖中a的值;
以頻率作為概率,試求消費(fèi)者月餅購(gòu)買量在的概率;
已知該超市所在銷售范圍內(nèi)有20萬(wàn)人,并且該超市每年的銷售份額約占該市場(chǎng)總量的,請(qǐng)根據(jù)這1000名消費(fèi)者的人均月餅購(gòu)買量估計(jì)該超市應(yīng)準(zhǔn)備多少噸月餅恰好能滿足市場(chǎng)需求頻率分布直方圖中同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論的零點(diǎn)情況;
(2)當(dāng)時(shí),記在上的最小值為m,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增,函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(﹣1,0)對(duì)稱,f(﹣1)=﹣2,則滿足﹣2≤f(lgx﹣1)≤2的x的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為.
(1)若a=1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線(不與軸重合)與橢圓相交于,兩點(diǎn),直線:與軸相交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,垂足為D.
(1)求四邊形(為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍;
(2)證明直線過(guò)定點(diǎn),并求出點(diǎn)的坐標(biāo).
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