Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)為其一個(gè)焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，，不在軸上的動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，，證明：直線通過一個(gè)定點(diǎn)，且的周長為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意可得a,b的方程組，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）不妨設(shè)，.為直線上一點(diǎn)（），，.求出M,N的坐標(biāo)，再寫出直線MN的方程，再證明直線通過一個(gè)定點(diǎn)，求出此時(shí)的周長為定值.

（1）根據(jù)題意可得，

可解得，

∴橢圓的方程為.

（2）不妨設(shè)，.

為直線上一點(diǎn)（），，.

直線方程為，直線方程為.

點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組，

可得.

點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組，

可得，

，.

直線的方程為，

即.

故直線恒過定點(diǎn).

又∵，是橢圓的焦點(diǎn)，

∴周長.