Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．
（1）若a=2

3

，b=c=2，求角A的大小；
（2）若a=2，A=

π

3

，B=

5π

12

，求c邊的長(zhǎng)；
（3）設(shè)

m

=(cosA，cos2A)，

n

=(-

12

5

 ， 1)，且

m

•

n

取最小值時(shí)，求tan(A-

π

4

)值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知的三邊代入，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）由A和B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù)，再由正弦定理得到

a

sinA

=

c

sinC

，將a，sinA及sinC的值代入，即可求出c的值；
（3）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

m

•

n

，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，配方得到關(guān)于cosA的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出

m

•

n

取得最小值時(shí)，cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，進(jìn)而確定出tanA的值，最后把所求的式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，將tanA的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵a=2

3

，b=c=2，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4+4-12

8

=-

1

2

，
又A為三角形的內(nèi)角，
則A=

2π

3

；…（4分）
（2）∵A=

π

3

，B=

5π

12

，則C=

π

4

，…（6分）
∴sinA=

3

2

，sinC=

2

2

，又a=2，
∴由正弦定理得：

2

3 2

=

c

2 2

，
∴c=

2 6

3

；…（8分）
（3）∵

m

=(cosA，cos2A)，

n

=(-

12

5

， 1)，
∴

m

•

n

=-

12

5

cosA+cos2A=-

12

5

cosA+2cos2A-1=2(cosA-

3

5

)2-

43

25

，…（10分）
∴當(dāng)cosA=

3

5

時(shí)，

m

•

n

取最小值，
又A為三角形的內(nèi)角，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∴tanA=

4

3

，…（13分）
則tan(A-

π

4

)=

tanA-1

1+tanA

=

4 3 -1

1+ 4 3

=

1

7

．…（15分）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩角和與差的正切函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．