Question

22、函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）是減函數(shù)，且f′（x）＞0．設(shè)x₀∈（0，+∞），y=kx+m是曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））得的切線方程，并設(shè)函數(shù)g（x）=kx+m．
（Ⅰ）用x₀、f（x₀）、f′（x₀）表示m；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x₀∈（0，+∞）時(shí)，g（x）≥f（x）．

Answer 1

分析：（I）先利用點(diǎn)斜式表示出切線方程，然后根據(jù)切線方程與y=kx+m是同一直線建立等式關(guān)系，求出m即可；
（II）比較g（x）與f（x）的大小可利用作差比較，構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的最小值，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）
∴m=f（x₀）-x₀f'（x₀）．
（Ⅱ）證明：令h（x）=g（x）-f（x），則h'（x）=f'（x₀）-f'（x），h'（x₀）=0．
因?yàn)閒'（x）遞減，所以h'（x）遞增，因此，當(dāng)x＞x₀時(shí)，h'（x）＞0；
當(dāng)x＜x₀時(shí)，h'（x）＜0．所以x₀是h（x）唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，
可知h（x）的最小值為0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及比較兩函數(shù)的大小，比較大小常常運(yùn)用作差法進(jìn)行比較，屬于中檔題．