Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD底面為一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E為PC中點
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD
（Ⅱ）求證：BE∥平面PAD
（Ⅲ） 假定PA=AD=CD，求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明PA⊥DC，DC⊥AD，然后證明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD
（Ⅱ）取PD的中點F，連接EF，F(xiàn)A∵E為PC中點，證明四邊形ABEF為平行四邊形，推出BE∥AF，然后證明BE∥平面PAD
（Ⅲ）連接AC，取AC中點O，連接EO．過O作OG⊥BD交BD于G，連接EG．說明∠EGO為所求二面角E-BD-C的平面角，設PA=AD=CD=2a，AB=a，連DO并延長交AB于B′，O為DB′中點，過B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E-BD-C的平面角的正切值．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，
∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD，
∵DC?面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD
（Ⅱ）證明：取PD的中點F，連接EF，F(xiàn)A∵E為PC中點，
∴在△PDC中：EF∥=$\frac{1}{2}DC$，∴EF∥=AB，
∴四邊形ABEF為平行四邊形，
即BE∥AF，
∵AF?面PAD且BE?面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ）解：連接AC，取AC中點O，連接EO．
在△PAC中：EO∥=$\frac{1}{2}PA$，
∴EO⊥面ABC，過O作OG⊥BD交BD于G，連接EG．
由三垂線定理知：∠EGO為所求二面角E-BD-C的平面角，
設PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a
連DO并延長交AB于B′，則四邊形AB′CD為正方形，且B′B=a，O為DB′中點，
過B′作B′G′⊥DB交BD于G′．
∴$OG=\frac{1}{2}{B^/}{G^/}=\frac{1}{2}B{B^/}•sin∠{B^/}B{G^/}=\frac{1}{2}B{B^/}•sin∠ABD$=$\frac{1}{2}a•\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}a•\frac{2a}{{\sqrt{{{（2a）}^2}+{a^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}a$
在△EOG中：$tan∠EGO=\frac{EO}{OG}=\frac{a}{{\frac{1}{{\sqrt{5}}}a}}=\sqrt{5}$，
故：二面角E-BD-C的平面角的正切值為$\sqrt{5}$．

點評 本題考查二倍角的平面角的求法，直線與平面平行于垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．