Question

18．如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線(xiàn)CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥CD．
（1）求證：∠CAD=∠BAC；
（2）若AD=4，AC=6，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用圓的性質(zhì)、圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，可得∠ADC=∠ACB=90°．∠DCA=∠B．可得△ADC∽△ACB，即可證明．
（2）由（1）得△ADC∽△ACB．利用相似的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）證明：連接BC．由AB為⊙O的直徑，得∠ACB=90°．
∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ACB=90°．
∵直線(xiàn)CD與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠DCA=∠B．
∴△ADC∽△ACB，∴∠CAD=∠BAC． 
（2）解：由（1）得△ADC∽△ACB．
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，∴AC²=AD•AB．
又∵AD=4，AC=6，∴AB=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的性質(zhì)、圓的切線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．