Question

某地興建一休閑商業(yè)廣場，欲在如圖所示的一塊不規(guī)則用地規(guī)劃建成一個矩形的商業(yè)樓區(qū)，余下作為休閑區(qū)域，已知AB⊥BC，OABC，且AB=BC=2AO=4km，曲線段OC是以O(shè)為頂點且開口向上的拋物線的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形商業(yè)樓區(qū)的用地面積最大？

Answer 1

解：如圖，以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸，建立直角坐標系，則C（2，4）
設(shè)拋物線方程為 x²=2py，代入點C（2，4）得，
所以拋物線C方程為y=x²（0≤x≤2）
設(shè)P（x，x²），|PQ|=2+x，|PN|=4﹣x²
S=|PQ|×|PN|=（2+x）（4﹣x²）=8﹣x³﹣2x²+4x
由S'=﹣3x²﹣4x+4=0，得或x₂=﹣2
因為0≤x＜2，所以
當(dāng)時，S'＞0，S是x的增函數(shù)
當(dāng)時，S'＜0，S是x的減函數(shù)
所以，當(dāng)時，S取得最大值                            
此時，，
故把商業(yè)樓區(qū)規(guī)劃成長為，寬為的矩形時，用地面積可最大