Question

已知關(guān)于x的方程-x²+2x=|a-1|在x∈(

1

2

，2]上恒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[0，2]

．

Answer 1

分析：由題意可得，函數(shù)f（x）=-x²+2x的圖象和直線y=|a-1|的圖象在x∈(

1

2

，2]上恒有交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得|a-1|≤1，從而求得a的范圍．

解答：解：由于函數(shù)f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1≤1，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，1]．
根據(jù)已知關(guān)于x的方程-x²+2x=|a-1|在x∈(

1

2

，2]上恒有實(shí)數(shù)根，
的圖象和直線y=|a-1|的圖象在x∈(

1

2

，2]上恒有交點(diǎn)，如圖所示：
故有|a-1|≤1，即-1≤a-1≤1，解得 0≤a≤2，
故答案為[0，2]．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．